پاسخ فعالیت صفحه 54 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 54 ریاضی دهم - مسئله ۱ سلام! این فعالیت برای جمع‌بندی ویژگی‌های **ریشه‌ی $n$اُم** یک **عدد مثبت** است و به اهمیت فرد یا زوج بودن فرجه (n) تأکید دارد. ### **تکمیل جدول ریشه‌های ۶۴** ما باید اعدادی را پیدا کنیم که به توان فرجه‌ی موردنظر برسند و نتیجه $64$ شود. * $\mathbf{\sqrt[6]{64}}$: چون $2^6 = 64$ و $(-2)^6 = 64$. * **ریشه‌های ششم:** $\mathbf{2, -2}$ * $\mathbf{\sqrt[7]{64}}$: چون فرجه فرد است، تنها یک ریشه‌ی هفتم دارد (ریشه‌ی اصلی). * **ریشه‌ی هفتم:** $\mathbf{\sqrt[7]{64}}$ (مقدار دقیق: $2\sqrt[7]{0.5}$) * $\mathbf{\sqrt[8]{64}}$: چون فرجه زوج است، دو ریشه‌ی قرینه دارد. * **ریشه‌های هشتم:** $\mathbf{\sqrt[8]{64}, -\sqrt[8]{64}}$ (مقدار دقیق: $\sqrt[4]{8}$) | | ریشه‌ی دوم | ریشه‌ی سوم | ریشه‌ی چهارم | ریشه‌ی پنجم | ریشه‌ی ششم | ریشه‌ی هفتم | ریشه‌ی هشتم | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | **عدد ۶۴** | $8, -8$ | $4$ | $\sqrt[4]{64}, -\sqrt[4]{64}$ | $\sqrt[5]{64}$ | $\mathbf{2, -2}$ | $\mathbf{\sqrt[7]{64}}$ | $\mathbf{\sqrt[8]{64}, -\sqrt[8]{64}}$ | --- ### **پاسخ به سوالات متنی** **۱. ریشه‌های ششم عدد $64$:** ریشه‌های ششم عدد $64$، اعداد $\sqrt[6]{64}$ و $-\sqrt[6]{64}$ یا همان $\mathbf{2}$ و $\mathbf{-2}$ هستند؛ زیرا $(\mathbf{2})^6 = 64$ و $(\mathbf{-2})^6 = 64$. **۲. درباره‌ی ریشه‌های هفتم و هشتم عدد $64$ چه می‌توانید بگویید؟** * **ریشه‌ی هفتم (فرد):** فقط **یک ریشه‌ی حقیقی** دارد که مثبت است: $\mathbf{\sqrt[7]{64}}$. * **ریشه‌های هشتم (زوج):** **دو ریشه‌ی حقیقی** قرینه‌ی هم دارد: $\mathbf{\sqrt[8]{64}}$ و $\mathbf{-\sqrt[8]{64}}$. **۳. به طور کلی اگر $n \in \mathbb{N}$، درباره‌ی ریشه‌ی $n$اُم عدد $64$ چه می‌توان گفت؟** * اگر **$n$ زوج** باشد، عدد $64$ **دو ریشه‌ی حقیقی** (قرینه) دارد. * اگر **$n$ فرد** باشد، عدد $64$ **یک ریشه‌ی حقیقی** (مثبت) دارد. **۴. در حالت کلی اگر $a$ یک عدد مثبت باشد و $n \in \mathbb{N}$، درباره‌ی تعداد ریشه‌های $n$اُم $a$ چه می‌توان گفت؟** * اگر **$n$ زوج** باشد، عدد $a$ **دو ریشه‌ی حقیقی** ($\sqrt[n]{a}$ و $-\sqrt[n]{a}$) دارد. * اگر **$n$ فرد** باشد، عدد $a$ **یک ریشه‌ی حقیقی** ($\sqrt[n]{a}$) دارد.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 54 ریاضی دهم - مسئله ۲ این فعالیت به بررسی ویژگی‌های **ریشه‌ی $n$اُم** یک **عدد منفی** می‌پردازد. نکته‌ی اصلی در اینجا این است که **فقط فرجه‌های فرد** می‌توانند ریشه‌ی حقیقی برای اعداد منفی تعریف کنند. ### **تکمیل جدول ریشه‌های $-۶۴$** * **ریشه‌های زوج (دوم، چهارم، ششم، هشتم):** وجود ندارند. (چون توان زوج هیچ عدد حقیقی نمی‌تواند منفی شود.) * **ریشه‌ی ششم:** $\mathbf{\text{وجود ندارد}}$ * **ریشه‌ی هشتم:** $\mathbf{\text{وجود ندارد}}$ * **ریشه‌های فرد (سوم، پنجم، هفتم):** فقط یک ریشه‌ی حقیقی دارند که منفی است. * **ریشه‌ی هفتم:** $\mathbf{\sqrt[7]{-64}}$ | | ریشه‌ی دوم | ریشه‌ی سوم | ریشه‌ی چهارم | ریشه‌ی پنجم | ریشه‌ی ششم | ریشه‌ی هفتم | ریشه‌ی هشتم | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | **عدد $-۶۴$** | وجود ندارد | $-4$ | وجود ندارد | $\sqrt[5]{-64}$ | $\mathbf{\text{وجود ندارد}}$ | $\mathbf{\sqrt[7]{-64}}$ | $\mathbf{\text{وجود ندارد}}$ | --- ### **پاسخ به سوالات متنی** **۱. ریشه‌های زوج $-64$:** ریشه‌های زوج $-64$ وجود ندارند؛ زیرا عددی وجود ندارد که به توان **زوج** برسد و مساوی $-64$ شود. **۲. درباره‌ی ریشه‌های $\sqrt[n]{-64}$ ( $n\in \mathbb{N}$ ) بحث کنید.** * اگر **$n$ زوج** باشد، ریشه‌ی $\sqrt[n]{-64}$ **وجود ندارد** (در مجموعه‌ی اعداد حقیقی). * اگر **$n$ فرد** باشد، ریشه‌ی $\sqrt[n]{-64}$ **وجود دارد** و **منفی** است (تنها یک ریشه‌ی حقیقی). **۳. اگر $a$ یک عدد منفی و $n \in \mathbb{N}$ باشد، درباره‌ی ریشه‌ی $n$اُم $a$ چه می‌توان گفت؟** * اگر **$n$ زوج** باشد، عدد $a$ **ریشه‌ی حقیقی ندارد**. * اگر **$n$ فرد** باشد، عدد $a$ **یک ریشه‌ی حقیقی** دارد که $\mathbf{\sqrt[n]{a}}$ است و علامت آن **منفی** می‌باشد.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 54 ریاضی دهم - مسئله ۳ این جدول، **خلاصه‌ی کامل** از تعریف و تعداد ریشه‌های $n$اُم در مجموعه‌ی اعداد حقیقی است و بر اساس فرد یا زوج بودن فرجه ($n$) و علامت عدد زیر رادیکال ($a$) سازماندهی شده است. ### **تکمیل جدول جمع‌بندی ریشه‌های $n$اُم** | علامت $a$ | زوجیت $n$ | تعداد ریشه‌های حقیقی $n$اُم $a$ | مثال عددی | | :---: | :---: | :---: | :---: | | $a>0$ | $n$ زوج | دو ریشه‌ی $n$اُم $\sqrt[n]{a}$ و $-\sqrt[n]{a}$ است | $a=81, n=4$. $81$ دارای دو ریشه‌ی چهارم $3=\sqrt[4]{81}$ و $-3=-\sqrt[4]{81}$ است. | | $a>0$ | $n$ فرد | **یک ریشه‌ی $n$اُم مثبت** ($\mathbf{\sqrt[n]{a}}$) | $a=\mathbf{8}, n=\mathbf{3}$. $8$ دارای یک ریشه‌ی سوم $2=\sqrt[3]{8}$ است. | | $a<0$ | $n$ زوج | **ریشه‌ی حقیقی وجود ندارد** | $a=\mathbf{-4}, n=\mathbf{2}$. $\sqrt{-4}$ در $\mathbb{R}$ وجود ندارد. | | $a<0$ | $n$ فرد | **یک ریشه‌ی $n$اُم منفی** ($\mathbf{\sqrt[n]{a}}$) | $a=\mathbf{-8}, n=\mathbf{3}$. $-8$ دارای یک ریشه‌ی سوم $-2=\sqrt[3]{-8}$ است. |

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 54 ریاضی دهم - مسئله ۴ این تمرین به اثبات و درک **خاصیت ضرب رادیکال‌ها** با فرجه‌های زوج و فرد می‌پردازد و محدودیت‌های هر کدام را نشان می‌دهد. ### **۱. بررسی فرجه‌ی زوج ($n=4$)** **سوال:** آیا $\sqrt[4]{a} \times \sqrt[4]{b} = \sqrt[4]{ab}$ برقرار است؟ **پاسخ:** بله، این رابطه **برقرار** است، **به شرطی که $a$ و $b$ نامنفی باشند**. **تکمیل عبارت:** با توجه به این‌که $4$ یک عدد زوج است، باید $a$ و $b$ **نامنفی** ($\mathbf{a \ge 0 \text{ و } b \ge 0}$) باشند. **تکمیل مثال عددی:** $$\sqrt[4]{16} \times \sqrt[4]{81} = 2 \times 3 = \mathbf{6}$$ $$\sqrt[4]{16 \times 81} = \sqrt[4]{\mathbf{1296}} = 6$$ ### **۲. بررسی فرجه‌ی فرد ($n=5$)** **سوال:** درباره‌ی $\sqrt[5]{a} \times \sqrt[5]{b} = \sqrt[5]{ab}$ چه می‌توان گفت؟ آیا $a$ و $b$ حتماً باید نامنفی باشند؟ **پاسخ:** این رابطه برای تمام اعداد حقیقی $a$ و $b$ برقرار است. خیر، **نیازی نیست** $a$ و $b$ نامنفی باشند (می‌توانند منفی باشند)؛ زیرا فرجه‌ی $5$ فرد است و ریشه‌ی فرد برای اعداد منفی در $\mathbb{R}$ تعریف می‌شود. **مثال با $a$ و $b$ منفی:** فرض کنید $a = -32$ و $b = -1$ باشد: * **طرف چپ:** $$\sqrt[5]{-32} \times \sqrt[5]{-1} = (-2) \times (-1) = \mathbf{+2}$$ * **طرف راست:** $$\sqrt[5]{(-32) \times (-1)} = \sqrt[5]{+32} = \mathbf{+2}$$ **نتیجه‌گیری:** چون طرف چپ = طرف راست است، تساوی **برقرار** است. این خاصیت برای تمام رادیکال‌هایی با **فرجه‌ی فرد**، بدون محدودیت علامت زیر رادیکال، برقرار است.